Ingegneria Forum

Mi sembra un criterio elegante,
però cosi come l'hai proposto funziona solo se la poligonale è convessa.

Ok!
Poichè zax nel quesito non ha specificato ipotesi semplificative sulla forma del poligono stavo e sto pensando ad un criterio generale.

Ok!
Poichè zax nel quesito non ha specificato ipotesi semplificative sulla forma del poligono stavo e sto pensando ad un criterio generale.

non è un'ipotesi semplificativa.. è una caratteristica di tutti i domini di resistenza. se così non fosse è solo perchè qualche limitazione normativa lo impedisce, ma non mi risulta.

ok Massimo, ma forse non mi sono spiegato.
Zax scrive:

Adesso Mircof ti do, oggi ferragosto, di cosa "improvvisare".
Devi pensare ad un criterio analitico (non grafico) per decidere se il punto di coordinate x0,y0 è interno o esterno ad un poligono di n vertici definito dalle coppie di vertici x1,y1-x2,y2-x3,y3-......-xn,yn (in cui il poligono è chiuso visto che il punto xn,yn viene alla fine collegato con il punti x1,y1).

anche se il contesto è una discussione che ha per oggetto i domini di resistenza la domanda parla solo di un poligono di n vertici,
semplicemente, io ho interpetato che con poligono di n vertici zax si riferisse ad un poligono di n vertici generico e non ad un dominio di resistenza.

mi sempra giusto il discorso sul carattere convenzionale della misura della sicurezza fatto notare da Renato

Nel caso dei domini di rottura non si può parlare di un vero coeff. di sicurezza ma solo di una misura della sicurezza che è relativa ad un'origine convenzionale di sforzi.

Cosi a naso mi sembra che l'origine, convenzionale, utilizzata da Renato sia la stessa Oz che verrebbe fuori dal ragionamento fatto in un post precedente.

Personalmente, nel caso in specie (percorso sollecitazione a N=cost) , come origine utilizzo il punto di intersezione del piano N=cost con la retta congiungente il punto di cuspide a trazione (cioè quello corrispondente agli sforzi ottentuti per la massima deformazione unitaria a trazione a curvature nulle) con il punto N=0; Mx=0; My=0 (che in genere risulta interno al dominio Mx,My per N=0).

Si la cosa sembra complessa, ed in effetti affrontata alla "leggera" ci si ritrova in un mare di se e di ma, da cui non se ne esce.
Il criterio di Massimo.T (che come sempre si attorciglia attorno alle sue idee, affezionandocisi e non volendole abbandonare) è corretto.
Con la correzione ultima da lui proposta funziona anche con i poligoni concavi e non solamente complessi.

Mircof ha ragione, il criterio di cui parlo funziona sempre e comunque. Sia con poligoni concavi che convessi.

Navigando nel forum frequentato da Afazio qualche tempo fa, il Bar dell'Ingegneria, in cui, appunto, qualcuno aveva chiesto su come fare a risolvere il problema del dentro/fuori del punto ad un poligono, mi sono imbattuto in un metodo semplice semplice, ovvero senza trasformazioni di assi, cose astruse ecc.

Il metodo, e permettetemi di continuare con il mistero, ma solamente perchè periodo vacanziero, io l'ho ribattezzato "metodo della semi retta positiva".
Chissà già dal nome.....

Un metodo che impiega le sole coordinate dei vertici del poligono senza trasformazioni del sistema di riferimento è il seguente.
Ordinati  gli N vertici in senso orario ed una volta certi che il poligono sia convesso, si calcola per ogni lato (di vertici x1,y1  x2,y2) la distanza 'orientata' D del punto X,Y dal lato:
D= (y1-y2) X + (x2-x1) Y + x1y2 - x2 y1
Se tutte le N distanze hanno lo stesso segno il punto è interno.
Per valutare se uno o più vertici determinano la concavità del poligono si calcola l'area dei successivi triangoli costituiti da 3 vertici consecutivi (formula indicata da Zax in un post precedente e basata sulle sole coordinate dei punti):

A = 0.5 ( x2 y1 - x1 y2 + x3 y2 - x2 y3 + x1 y3 - x3 y1)

Se l'area è positiva i 3 vertici sono convessi e si passa al triangolo successivo (vertici 2-3-4).
Se l'area è negativa si ha concavità: se il punto X,Y è interno a questo triangolo (metodo prima descritto) il punto X,Y è esterno al poligono ed il problema è chiuso; se, invece, il punto è esteno al triangolo si elimina il vertice 2 intermedio dai vertici del poligono eliminandone così la concavità. Alla fine del ciclo otterrò un nuova poligonale sicuramente convessa.

Naturalmente nella routine si effettua prima la riduzione (se necessaria) del poligono da concavo a convesso e solo successivamente si valuta se il punto è interno od esterno.

..oppure è sul bordo..

comunque è molto bella come soluzione

La soluzione di Renato, anch'essa corretta (d'altra parte da lui non potevamo aspettarci di meno) ha il solito svantaggio di doversi prima accertare della convessità o meno del poligono.

Mircof ci si è avvicinato molto.

Ma quello che, a mio modesto avviso, mi sembra il metodo più semplice possibile è quello che ho ribattezzato "metodo della semiretta".

Vediamolo prima graficamente, perchè la trattazione analitica viene di conseguenza.

In pratica partendo dal punto x0,y0 si traccia una semiretta. Prima o poi, se x0,y0 è interno al poligono questa semiretta dovrà "bucare" il poligono stesso.
Fatto, quindi.

Però so cosa già mi direte, perchè la soluzione funziona per i poligoni convessi, ma per i concavi?

Basta semplicemente un piccolo passaggio, ovvero una variazione nella definizione:

Se la semiretta interseca il poligono un numero dispari di volte, il punto x0,y0 è interno al poligono.
Se la semiretta interseca il poligono un numero pari di volte (e il numero 0 qui va considerato pari), il punto x0,y0 è esterno al poligono.

Nella figura sottostante i casi che possono presentarsi. Per semplificare la trattazione analitica ho provveduto a segnare semirette orizzontali e con"x maggiori" di x0.

Così... per completezza..
E se la semiretta che parte da un punto esterno al poligono lo interseca una sola volta "tangente" ad uno spigolo come si fa?