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Un rapido metodo per determinare il rapporto di smorzamento
XI = c/(2*m*OMEGA_n)
e quindi il rapporto di smorzamento c, a partire dalle misure in vibrazioni forzate è il seguente.
Faccio prima una veloce premessa.
Sia dato un sistema ad 1 g.d.l. avente frequenza naturale di vibrazione (angolare):
OMEGA_n=(k/m)^0.5
sottoposto alla sollecitazione dinamica di una forzante armonica in seno:
p(t) = p₀*sen(OMEGA*t)
Superando il transitorio degli istanti immediatamente successivi all'applicazione della forza, la componente stazionaria della risposta dinamica è esprimibile come:
u(t)=u₀*D*sen(OMEGA*t-Ø)
essendo:
D = u_max/u₀ il fattore di amplificazione dinamica, definibile come rapporto tra massimo spostamento dinamico (u_max = max {u(t)}) e massimo spostamento statico (u₀ = p₀/k)
Ø lo sfasamento tra lo spostamento e la forzante.
Indicando con BETA=OMEGA/OMEGA_n il rapporto tra la frequenza della forzante e la frequenza naturale di vibrazione, grafici di D e Ø in funzione di BETA sono:

Concentriamoci su D.
Conducendo una prova di vibrazione forzata a frequenza prossima alla frequenza naturale di vibrazione (BETA ~ 1, zona di picco del diagramma di D), in cui si misura il massimo spostamento del sistema u_A:
D = u_A/u₀ = 1/(2*XI) ===> XI = u₀/(2*u_A)
Qualora non si conoscesse lo spostamento statico u₀ = p₀/k si potrebbe condurre un altro test con una forzante di frequenza molto più grande della frequanza naturale di vibrazione (BETA >> 1, in particolare almeno BETA > 4 ÷ 5, corrispondente alla zona di estrema destra del diagramma di D), di cui si misura il massimo spostamento del sistema u_B:
D = u_B/u₀ ~ BETA^-2 ===> u₀ = u_B*BETA²
e quindi sostituendo nell'espressione di XI prima ricavata:
XI = u₀/(2*u_A) = u_B*BETA²/(2*u_A)
E' stato quindi sufficiente condurre due prove di vibrazioni forzate con frequenza opportuna per determinare il rapporto di smorzamento, e da questo il coefficiente di smorzamento:
c = 2*m*XI/OMEGA_n