Ingegneria Forum

Salve a tutti

In matematica il calcolo degli autovalori e degli autovettori è posto nella seguente forma generale:

Ax = λx        (1)

con A matrice di ordine n;   
λ è (numero reale o complesso) detto autovalore; 
x è vettore non nullo detto autovettore associato all’autovalore  λ.

Utilizzando la matrice identità I si può scrivere il problema nella seguente forma:

(A – λI)x = 0.    (2)

Ovviamente si tralascia la soluzione banale x=0.
In rete si trovano molte functions e routines (in molti linguaggi di programmazione) che risolvono questo problema. Uno dei più efficienti e il metodo QR che lavora sulla matrice A.

E fino a qui siamo tutti felici.

In ingegneria nel calcolo delle strutture con una analisi modale è necessario il calcolo degli autovalori e autovettori ed il problema è posto nella seguente forma:

(K – λM)x = 0.             λ = ω2     (ω = frequenza)

K  matrice di rigidezza
M  matrice delle masse

Questa si può scrivere in maniera analoga alla (2):

(M-1K – λI)x = 0            ( M-1  è la matrice inversa di M )

Quindi il problema è riconducibile a trovare gli autovettori e autovalori di  A =M-1K .

E qui arriva il bello.

Per trovare la matrice  A devo invertire la matrice M. E questo è un problema serio sia in termini computazionali ma soprattutto di tempo.

Se la matrice M è di ordine n=10 oppure n=20 oppure n= 50 allora, ancora, siamo dentro tempi normali. Ma se M è di ordine n=200 oppure n=1000 come si fa?

Quando si assumono gli impalcati rigidi allora, per esempio per un palazzo di 50 piani è ancora tutto ok e posso, in tempi normali, invertire M.

Ma se non si assumono impalcati rigidi e si vogliono concentrare le masse per esempio ai nodi, avrò, per una struttura di 1000 nodi, una matrice M di ordine 1000.
Quindi invertire M in questo caso diventa una utopia!!!!!!

Come fanno i programmi di calcolo quando non si assumono gli impalcati rigidi?

Grazie della pazienza.

Qualche considerazione, visto che è un problema che ho analizzato recentemente.
1) la matrice delle masse in genere è diagonale (con lumped mass) ma con parecchi termini nulli in un codice ad EF: se tutti i termini fossero diversi da zero invertirla è una cosa semplice (se diagonale) perché il determinante è pari al prodotto degli elementi sulla diagonale stessa e la matrice inversa è composta da temini che singolarmente sono gli inversi della matrice di partenza. Ma questo è un approccio sbagliato in un codice ad EF;
2) il problema deve essere ricondotto alla forma standard dopo aver decomposto la matrice di rigidezza con l'algotirmo di Cholesky, scrivendo K=Lk*LkT dove Lk ed LkT sono una la trasposta dell'altra;
3) dopo aver seguito questa strada puoi agevolmente utilizzare Jacobi per il calcolo degli autovalori;
4) alla fine devi calcolare gli autovettori e qui le cose si complicano, anche se potrebbe non sembrare: i problemi sono fondamentalmente le radici multiple e l'ortonormalità.

Ciao e... buon divertimento.

A dire il vero, dai miei ricordi di dinamica la matrice dinamica era espressa come M*K-1 e non come tu indichi M-1*K.
Per cui l'onere della inversione è sulla matrice K e non su M.
Per K c'è la certezza che essa sia simmetrica ed essenzialmente positiva (ovvero con termini non nulli sulla diagonale principale).
Pertanto in luogo del "classico" metodo della sostituzione (Gauss-Siedel) si può procedere con il metodo di Cholesky, meno oneroso computazionalmente, che "pretende" una diagonale fatta di termini positivi visto che su questi ultimi opera con le radici quadrate.
Non so se equivalente a quello proposto da Renato, ma ricordo sempre un metodo per l'estrazione degli autovalori detto di Stodola, e che permette di ricavare l'autovalore n dall'n-1 in modo iterativo.

A dire il vero, dai miei ricordi di dinamica la matrice dinamica era espressa come M*K-1 e non come tu indichi M-1*K.
Per cui l'onere della inversione è sulla matrice K e non su M.
Per K c'è la certezza che essa sia simmetrica ed essenzialmente positiva (ovvero con termini non nulli sulla diagonale principale).
Pertanto in luogo del "classico" metodo della sostituzione (Gauss-Siedel) si può procedere con il metodo di Cholesky, meno oneroso computazionalmente, che "pretende" una diagonale fatta di termini positivi visto che su questi ultimi opera con le radici quadrate.
Non so se equivalente a quello proposto da Renato, ma ricordo sempre un metodo per l'estrazione degli autovalori detto di Stodola, e che permette di ricavare l'autovalore n dall'n-1 in modo iterativo.

Ciao Zax
   in effetti la matrice delle rigidezze è almeno sempre invertibile, a differenza di quella delle masse.

Ciao.

Ciao Vincenzo
   puoi seguire la strada che indichi solo se sono nulli SOLO i termini rotazionali della matrice della masse; in questo caso puoi modificare rapidamente la matrice di rigidezza eseguendo un prodotto e una somma su blocchi. Trovi una descrizione puntuale ad esempio nel libro di Rugarli. Occhio che se pensi di eliminare brutalmente i termini rotazionali dalla matrice delle rigidezza sbagli.

Ciao.

@Renato
Mi pare che nel documento riportato da Enzo, invece ci sia un intero capitolo relativo proprio agli autovalori in campo complesso.

@Enzo
Nel documento mi dici che a pagina 50 (è la 53 del documento pdf) trovo la formula da te scritta, ma ti comunico anche che a pagina 46 (la 49 del documento pdf) trovi anche quella che ti ho scritto io. Sono ambedue corrette?

Zax ho notato ( verficando per entrambe le matrici) che gli autovalori di M-1K sono i reciproci di k-1M.

Mi sembra ovvio. Quando ho 5 min di tempo ti spiego il perché ma se ci ragioni ci arrivi da solo.

Qui qualcosa mi sfugge. Ho bisogno di un ripasso sui libri....
Per altro sono sicuro (dato che l'ho verificato) che gli autovalori di pag. 50 del pdf sono corretti. Ovviamente dato che nel mio primo post ho fatto vedere (come si può trovare uvunque sui libri e in rete) che bisogna trovare gli autovalori di M-1K. Se si fossero calcolati con K-1M sarebbero venuti fouri i reciproci in ordine inverso il che porterebbe a risultati sbagliati se non si esegue il passaggio 1/x. Perchè?

Alberto qual'è questo libro di Rugarli?
Per caso è "Analisi Modale Ragionata"?

Si.

In effetti, si, pensavo di eliminare brutalmente (righe e colonne delle rotazioni)  dalla K (locale), poi proiettrala sul riferimento globale e li poi assemblarla con le matrici K (brutalizzate e proiettate) degli altri elementi.

Perchè sbaglio nel fare questa cosa? Ho cercato in rete ma non ho trovato nulla?
Avete qualche link?

Come accennato anche da Normativo è il noto problema della condensazione statica. Se elimini brutalmente le righe coi termini rotazionali alteri radicalmente da rigidezza della struttura e con essa i relativi modi di vibrare.

Ciao.

Lontani ricordi.
Con il primo approccio forse in un caso i primi autovalori sono quelli a frequenza più bassa, ed a seguire quelli a frequenza via via più alta. Viceversa con il secondo approccio trovi per primi gli autovalori a frequenza più alta e via via quelli a frequenza più bassa.
I lontani ricordi sono che i civili, interessati alle basse frequenze, operano in un modo, gli elettronici, viceversa interessati alle alte frequenze, operano nell'altro.
Del fattore 1/x non ho ricordi.

Ma comunque mi scuso, perchè con questa storia di ciò che ricordo o non ricordo, sto dirottando il discorso lì dove non interessa andare.